那是一个阳光明媚的上午,有个同学说:你看那个旗杆的影子……嗯咳咳。

自从把初中的所有数学知识学习完之后我就一直想测量旗杆的高度,奈何没有测角仪和卷尺,只得作罢。

倒是突然想总结一下测量楼房的高度的方法了。

第一种:直接扔东西下去

让我们请出 $h =\frac{1}{2}gt^2$ ,这是自由落体公式的推导,使用它的方法很简单,只需要一块重物,然后从楼房顶端扔出去,就可以用它计算了(

优点

准备材料少(停表,一块石头(或者其它重物),一根笔,一张纸,,一台计算器或者一个足够好的脑子

缺点

朋友,这不是理想环境,风会作用于重物导致时间错误,甚至可以把你的石头中途吹到窗台上(

第二种:相似三角形

相似三角形有一个性质——对应边成比例

而这个知识就可以作为我们测量楼房高度的方式之一,所以我们可以将一个已知高度的棍子垂直立在地上(这个棍子随意,甚至可以拿自拍杆(

然后看那根棍子的顶端使其和楼房顶端重合,然后从棍子顶端拉一根线到你的眼睛前面,然后抓住它延长到地面,然后就可以计算了。
这里给出一个示意图,其中BC是楼高,DE是棍子高度,CE是棍子到楼的距离,AE是刚刚你抓住的绳子延长到地面之后与杆子的距离,这里必须强调A、C、E三点必须共线

可以看到在这张图里面,有:$BC \perp AC$和$DE \perp AC$
易得$\angle BCA = \angle DEA$ 再加上 $\angle BAC = \angle BAE$
就可以证明$\triangle BAC \sim \triangle DAE$,得$\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \Rightarrow AE \cdot BC = AC \cdot DE \Rightarrow BC= \frac{AC \cdot DE}{AE}$
而明显,因为AC,DE,AE这些东西都易于测量,所以我们很容易就可以得到BC也就是楼房高。

优点

对于那些楼顶不是平台或者难以到达的楼极其友好

缺点

难以确定三点共线,不是所有人都有那么长的皮尺

第三种:三角函数

恭喜看到现在的各位,你们已经是测量楼房高度的专家了!(什么鬼

明显保持三点共线比较困难,所以这种方法就可以只需要二点共线,是不是很简单(
这里依然有一张图片供以理解,AE,DF依然是一根棍子,上面绑上一个测角器,BG是楼高:

易证:四边形ADFE与四边形ACGE都是矩形,所以$AD=EF $ $AE=CG$
而明显,EF是很容易测量的,你也可以控制它使他适合你所拥有的测量工具。

同时,使用测角器,你可以轻易测得$\angle BDC$和$\angle BAC$(简易测角器的制作我们的人教课本有写到,可以作为参考,如下图:

此时我们通过观察,发现 $\angle BAC$和$\angle BDC$分别位于$\triangle ABC$和$\triangle DBC$里面,而这两个三角形有共同的直角边BC。而我们所有的AD是$AC-DC$的结果。
想到什么了吗?对就是$\tan$,我们可以用公共直角边和角的正切值的差列方程:

设$BC$边为$x $ ,则据题列方程:

$\frac{x}{\tan \angle BAC}-\frac{x}{\tan \angle BDC} = AD$

求出$x$之后加上杆子长$CG$ 就可以求出楼高$BG$了,是不是很简单?(

优点

只需要确定A、D两点共线,避免了不必要的误差
只需要测量一条边,不需要十分长的皮尺

缺点

测角器需要自制,而且明显角度偏差会很大(

End

至少在现在我能想到的方法就是这些了,

不知道各位有没有什么其他的方法可以评论区留言,这篇文章就水完了,我们明年见(